第5课时    圆环的面积

    教学内容

冀教版小学数学六年级上册第54～55页。

    教学提示

  圆环的教学时学生在学习了圆的面积计算的基础上进行教学的，学生已经很对圆的面积计算有了较深的认识，并能进行一欧冠的计算，因此本节课重点是指导学生理解圆环的组成，从而得出圆环的面积的计算方法，并能运用公式解决实际问题。

    教学目标

    1．结合具体事例，经历认识圆环，用不同方法计算圆环面积的过程。

    2．会用自己的方法计算圆环的面积，能解决与圆环面积有关的简单问题。

    3．进一步体会数学与生活的密切联系，获得综合应用所学知识解决实际问题的活动经验和方法。

   重点、难点

重点

掌握环形面积的计算方法并利用这一模型解决实际问题。

难点

理解环形的形成过程，形成环形的空间观念。

    教学准备

教师准备：光盘，圆环图纸，教学课件一套。

学生准备：圆规，图纸，直尺，五环标志图，彩纸，剪刀，胶水等。

    教学过程

（一）新课导入：

   1.以奥运会为话题，引出奥运会旗——五环标志。

2，展示教师制作的奥运五环图。

    提问：你知道老师是怎样制作这个五环图的吗?

    生：剪出颜色不同的五环按顺序贴在一起。

    师：像这样的一个环，在数学上我们把它叫做“圆环”。你能利用手边的工具做出一个圆环吗?   

    设计意图：从学生熟悉的奥运话题引入，使学生怀着积极乐观的情绪进入新知的学习，让学生明确探究的目标与方向。

    二、探究圆环的特征

    1。学生动手操作画圆环。

    2．展示交流。

    生1：我利用透明胶带纸沿着外圈描了一个大圆，再沿着内  圈描了一个小圈，就得到了一个圆环。

生2：在圆纸片上剪掉一个小圆，剩下的图形就是一个圆环。

    生3：我用圆规在纸上先画一个圆，接着在外面画一个更大的圆，中间阴影部分也是一个圆环。

  师：这三位同学分别用描、剪、画的方法得到了一个圆环。你对他们的制作方法有什么看法?

    设计意图：给学生提供了动手操作与交流的空间，通过不同制作方法的展示，让学生初步感知圆环的特点。

    生1：剪的方法很方便，但剪下的圆环不规则，边上弯弯曲曲的。

    生2：描的方法简便，边上也比较光滑。如果要画更大一些的圆环就又要找其他物品了，这也会很麻烦的!相比较，用圆规画圆环又方便又美观。

    师：同学们说得真好。这三种制作圆环的方法各有所长。但借助圆规画出的圆环更加科学规范。该怎样画出一个圆环呢?请闭上眼睛，在脑海中想想画的过程。

    学生闭目在脑中画图。

    设计意图：短暂地闭目思考，排除了动手操作带来的外界干扰，使学生的思维能集中指向作图的具体过程，为进一步理解圆环的特征提供了直观印象。

师：瞧一瞧，黑板上哪一幅图和你想象中的类似。

    学生齐说：D

    师：其他几个图形为什么不是圆环呢?

    生：A图中小圆在大圆的外面；图B、C中的小圆没有在大圆的中间；只有图D中的小圆在大圆的正中间，所以它才是圆环。，

    师：怎样画才能使小圆正好在大圆的正中间?

    生1：先画一个圆，然后扩大或缩小圆规两脚间的距离，圆心不变，再画一个圆就可以了。

    生2：画圆环时，大圆和小圆的圆心在同一点上就可以了。

    师：对，圆环就是由同一个圆心，大、小不同的两个圆构成的。圆环里面的小圆叫做内圆，外面的大圆叫做外圆。现在请同学们动手画一画。

    学生操作画圆，展示交流。

   设计意图：从动手操作和判断辨析两个层次建立圆环的特征，并完成归纳过程。层层感悟、体验，使学生对概念的理解更充分。

三、探究圆环的面积

    师：同学们画得都很好。同桌间比一比，你俩谁画的圆环大?

    生1：我画的圆环要大一些。

    生2：看上去，我画的圆环小一些。

    生3：我画的圆环又大又细，他画的圆环又粗又小，不好比大小。

    通过目测，比较不出两个圆环面积的大小，该怎么办呢?

    想一想，再和同桌交流一下想法。

    设计意图：教师创设的比一比情境，让学生感受到探究圆环面积的必要性，激发了学生的学习欲望。

    生：可以用计算的方法，从大圆面积中减去中间小圆的面积，计算出圆环的面积。

    师：你是怎样想到的?

    生：刚才那位同学从圆纸片上剪掉一个同心小圆，剩下的图形就是一个圆环，说明圆环的面积就是用大圆的面积减去小圆的面积。

  师：说得真好!

  结合课件介绍：把一个圆形纸片对折再对折，两次折痕的交点就是这个圆形的圆心；再以此为圆心，用圆规画出一段弧，沿弧线剪开，展开就是一个圆环了。

    师：同一种方法制作圆环，为什么老师制作的圆环与刚才同学们做的大小不同呢?圆环的面积与什么有关?

    生1：圆环的面积与环形的宽度有关。

    生2：圆环的面积与外圆、内圆的面积有关。

    生3：因为圆的面积与半径有关，所以圆环的面积应与外圆、内圆的半径有关。

    师：计算圆环的面积必须知道哪些条件?

    生l：知道内圆和外圆的半径就可以了。

    生2：知道内、外圆的直径也可以。

    生3：知道内、外圆的周长也可以。

    师：同学们的思路真开阔。根据直径、周长与半径的关系，我们都可以间接知道内圆和外圆的半径，这样利用内圆和外圆的半径计算圆环的面积时就更加简便。请大家依据这个思路，汁算出你和同桌绘制的圆环面积，再精确比较出这两个圆环面积的大小。需要时可以借助计算器。

    设计意图：利用计算器的快速计算功能，让学生摆脱繁杂的机械计算，把节省的时间用于探索方法及总结规律上，使学生的思考更全面更深刻。

    学生测量相关数据，列式计算。

    交流算法，并板书：

    3.14×52－3.14×22    3.14×(42－22)

    3.14×4.52－3.14×2.22    3.14×(6.82－3.22)

    3.14×7.32－3.14×1.62

    师：如果用r表示内圆半径，用及表示外圆半径，观察左边的三个算式，你能用字母表示出圆环的计算公式吗?

    生：圆环的面积等于πR2－πr2。

   师：像右边这样计算圆环面积行吗?

    生l：可以。

    生2：这样算是利用了乘法分配律。

    师：那么，这时圆环的面积公式又该怎样表示呢?

    生：圆环的面积等于π(R2－r2)。

    设计意图：充分利用课堂生成的教学资源，引导学生通过观察、分析、比较，归纳出圆环面积的简便计算公式。教师的适时指导与点拨，体现了教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。

    四、实际应用

    师：通过刚才的学习，我们已经了解了圆环的特征，探讨了圆环面积的计算方法。生活中你在哪里见到过圆环?(随着学生的回答出示相应的图片)

    生1：妈妈佩戴的耳环侧面看上去就是一个圆环。

    生2：有的机器零件的表面是一个圆环。

    生3：飞镖的靶面上也有许多一圈一圈的圆环。

    生4：有的钟表表面的外圈就是圆环的形状。

生5：光盘的银色部分是一个圆环。

………

     1．出示甬路问题。(教材第54页例7)

    某公园内有半径为3米的圆形喷水池，在喷水池周围有一条1米宽的甬路。甬路的占地面积是多少平方米?

  学生独立完成，全班交流。

  (1)喷水池和甬路的占地面积：

     3.14×(1＋3)2＝3.14×16＝50．24(平方米)

  (2)喷水池的占地面积：

     3.14×32＝3.14×9＝28.26(平方米)

  (3)甬路的占地面积：

      50.24－28.26＝21.98(平方米)

                答：甬路的占地面积是21.98平方米。

  2．出示环形铸铁零件问题。(教材第54页例8)

  学生读题并观察示意图。

  怎样计算圆环的面积呢?同桌间相互讨论、交流。然后教师指名学生说算法。

    生l：我是这样算的：

        3.14×202－3.14×162

      ＝1256－803.84

      ＝452.16(平方厘米)

              答：环形的面积是452.16平方厘米。

    生2：我是这样算的：

        3.14×(202－162)

      ＝3.14×144

      ＝452.16(平方厘米)

              答：环形的面积是452.16平方厘米。

    师：同学们，你们认为他们两个的计算正确吗?

    生：正确。

    师：那么他们两个的计算方法哪个更简单呢?

    生：第二位同学的。

    师：不错。看来大家都掌握了圆环的计算方法，能把所学的知识应用到实际问题中。

    设计意图：让学生自己完成例题的解法，加强学生对圆环面积公式的掌握，提高学生应用所学知识解决实际问题的能力。

    五、拓展应用

    师：掌握了圆环的特点，你能制作一副老师刚开始展示的五环标志吗?请同学们以小组为单位合作制作这样一面奥运会旗，同时计算出五个圆环的总面积。比一比哪个小组完成的又好又快!

    学生分小组制作五环旗，并计算五个圆环的总面积。

    全班展示、交流、评价。

    教师强调：

    1．五个圆环的总面积＝一个圆环的面积×5

    2．五个圆环应大小相同，粘贴时注意五种颜色的顺序。

   设计意图：综合应用所学知识解决实际问题，分工合作完成奥运五环旗，让学生体验到合作的愉悦。

    （三）巩固新知：

1.  广场中央有一个圆形草坪，草坪的直径是20米，在草坪的中间有一个圆形花坛，花坛的直径是10米。

   (1)草坪的形状是什么形?

   (2)草坪的实际占地面积是多少? 

2.  小琴的哥哥是个射击爱好者，经常到射击中心去打靶。一天，小琴也和哥哥一同去射击场。小琴仔细看了看靶子，原来箭靶是由10个同心圆组成的。已知这个靶上面相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径。最里面的小圆叫做10环，最外面的圆环叫做1环。小琴在学校里刚刚学到了《圆的面积》，她很快运用学到的知识，算出了10环面积是1环的几分之几。

    你会算吗?答案是多少?

答案：

1.  由圆环的意义可知，草坪的形状是环形。求草坪的占地面积就是把草坪的面积去掉花坛的面积。

    (1)草坪的形状是环形(如上图)。

    (2)花坛的面积：3.14×(10÷2)2＝78.5(平方米)

    草坪的实际占地面积：  3.14×(20÷2)2－78.5＝235.5(平方米)

2.  10环的面积是：1×1×π＝π

     1环的面积是：10×10×π-9×9×π=19π   π÷19π=  

（四）达标反馈

1．填空。

  (1)一个圆的半径是1分米，它的周长是(    )分米，面积是(    )平方分米。

  (2)有一个圆环，外圆周长是62．8厘米，内圆周长是56．52厘米，这个圆环的面积是(    )平方厘米。

  (3)一个圆环，内圆半径是外圆半径的÷，这个圆环的面积是内圆面积的(    )倍。

1.  光盘银色部分是一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是6厘米，它的面积是多少?

3.  一个环形铁片，内圆半径是6 cm，圆环宽是4cm，求这个环形铁片的面积是多少? 

4.  一个玻璃水杯的底面直径是6厘米，高是20厘米。请你设计一个长方体包装箱，要求每箱装24个玻璃水杯。

5.  一种麻辣酱包装罐的底面周长是15.7厘米，高8厘米。这种麻辣酱的包装箱长25厘米，宽20厘米，高18厘米。一箱麻辣酱有多少罐?  

答案：

1．(1)6.28   3.14  （2)59.66  (3)8

2.  已知内圆半径和外圆半径，根据圆环面积的计算方法直接计算就可求出。

     3.14×62－3.14×22

    ＝3.14×36－3.14×4  

    ＝113.04－12.56 

    ＝100.48(平方厘米) 

或   3.14×(62－22)  

   ＝3.14×(36—4)

       ＝3.14×32

       ＝100.48(平方厘米)

       答：银色圆环部分的面积是100.48平方厘米。

3.  3.14×(6＋4)2－3.14×62

      ＝3.14×102－3.14×62    

      ＝314－113.04 

      ＝200.96(平方厘米) 

                 答：这个铁片的面积为200.96平方厘米。

4.  把24改写成三个数连乘的形式，能写出几个连乘算式，就有几种摆放方式，通过比较，其中既安全又便于搬运的有这样两种：

每排8个，摆3排。包装箱的长：6×8＝48(厘米)  宽：6×3＝18(厘米)  

    每排6个，摆4排。包装箱的长：6×6＝36(厘米)  宽：6×4＝24(厘米)    

所以较好的设计有两种： 

    第1种：长48厘米，宽18厘米，高20厘米   

        第2种：长36厘米，宽24厘米，高20厘米 

5.  15.7÷3.14＝5(厘米)

    25÷5＝5(罐)  20÷5＝4(排) 

（五）课堂小结

六、全课总结

    师：奥林匹克旗帜五个圆环连接在一起象征五大洲的团结，象征全世界的运动员以公正、公平的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上友好相见，欢聚一堂。今天，课堂上每个小组的同学也像这环环相扣的五环，团结协作完成了一幅幅精美的五环作品，相信同学们也会如奥运精神“更快、更高、更强”在学习上获得更大的进步!

    设计意图：分组合作完成奥运五环旗，既是对本节课知识的进一步理解，又巧妙地渗透了爱国主义、合作学习的教育。

（六）布置作业

1．计算下面各图阴影部分的面积。

2．在O处有一个发电厂，由于发电厂的噪音比较大，因此决定在以O处为圆心，以60米为半径的外围种植绿化带，如图，绿化带的面积是多少平方米?若绿化带的建造面积为每平方米500元，则共需资金多少元?

3.如下图，一个圆形鱼池，它的内直径为40m，中间圆形假山的直径为4m，则鱼池水面面积是多少?

4.某种饮料瓶的底面是圆形，周长是21．98厘米，将24罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，这个纸箱的长、宽至少各是多少厘米?

6．幸福村在街心广场修建一个圆形花坛，周长是31．4米，在花坛四周又修了一条宽1米的小路，这条小路的面积是多少平方米?

7．三个同心圆的半径比为1：2：3(如下图)，则阴影部分的面积和空白部分的面积之比是多少?

答案：

1．(1)251.2  (2)18.84  (3)20

2．3.14×[(60＋5)2－602]＝1962.5(平方米)

  500×1962.5＝981250(元)

3．3.14×[(40÷2)2－(4÷2)2]＝1243.44(平方米)

4．21.98÷3.14＝7(厘米)

  长：7×6＝42(厘米)

  宽：7×4＝28(厘米)

6．31.4÷3.14÷2＝5(米)  5＋1＝6(米)

  3.14×(62－52)＝34.54(平方米)

7．1：2

    板书设计

    教学反思

   本节课在新课前，通过复习使学生进一步掌握圆面积的计算，明确了计算圆面积需要知道的条件，然后通过创设情境，让学生动手操作，自己剪出环形图形，引发学生思考环形的形成过程。使学生直观感知从一个圆里去掉一个同心圆可以得到一个环形。引导学生在制作过程中思考怎样求出环形的面积，学生在制作中很快的说出求环形面积的方法。紧接着她又追问谁能总结出它的字母公式，（如果用R表示大圆半径，r表示小圆半径），大部分学生很准确的总结出S环=лR²—лr²，经过老师的引导学生很快导出 S环=л×（R²—r²）的公式。在课堂练习中，特意设计了针对环形面积的知识重点和难点习题，进行环形面积的练习。这样即巩固了环形的求法又培养并发展了学生的动手操作能力以及创新精神。同时在课堂练习中还更加注意了学生认真审题等良好学习习惯的培养。

    教学资料包

（一） 教学精彩片段

设计意图：  

　一、创设情景，生成问题 
激趣导入：1、 这幅图，你知道了什么？ 
2、 中国第一次参加奥运会… 
    上一届奥运会中获得金牌总数世界第三位。 
3、 这次成功申奥，是全国人民的光荣，我们要热爱祖国、热爱运动，积极参加体育锻炼。 
                      一大一小的同心圆 
                         环形的特点        
   设计意图：从学生应该掌握的常识，和身边发生过的事情入手，让学生体会到数学就在生活中就在我们身边，同时渗透学生热爱祖国和热爱运动的思想。 
二、探索交流，解决问题。 
（一）画、剪、制环形： 
1 、师：请同学们在硬纸板上画个半径为10厘米和5厘米的同心圆。 
生：按照要求画同心圆。 
2、师：请同学们先剪下所画的大圆再剪下所画的小圆    
 问：剩下的部分是什么图形？ 
生：环形。 
师：（拿着学生剪的环形） 
提问：“这个环形是怎样得到的？” 
生：从外圆中去掉一个内圆。 
师：在日常生活中你见过环形或截面是环形的物体吗？请举几例． 
（屏幕显示生活中有环形的物体，并闪动环形让学生观察．） 
设计意图：这过程以学生“画——剪——制”的亲身实践贯穿始终，同时在这一过程中渗透一些学法、如动手操作、合作交流，观察、分析等学习方法，使学生在学习中运用，在运用中掌握，学生通过自己动手操作，把环形从一般图形中分离出来，使学生很快抓住了环形的本质特征，形成环形的概念，发展学生的空间观念。 
（二）探索环形面积的计算方法． 
小组讨论：根据你们对环形的理解，你认为应如何计算环形的面积？ 
汇报交流：这个环形的面积实际就是=外圆面积-内圆面积 
师：那求圆的面积时题中给出的已知条件有几种情况？怎样求出圆面积？ 
     已知半径求面积      S=πr2 
     已知直径求面积      S=π（ ）2 
     已知周长求面积      S=π（ ）2 
设计意图：因为学生有了亲身实践的体验，在小组的合作下总结环形面积的计算方法水到渠成。 
 

（二） 数学资源

  1．下图阴影部分是个环形，它的内圆半径是10厘米，外圆半径是15厘米，求它的面积。

    分析：本题可用两种方法解答。求圆环的面积，实际上就是求两个半径不同的圆的面积之差，可用外圆的面积减去内圆的面积。

    答案：方法一：

    3.14×152－3.14×102＝706.5－314＝392.5(平方厘米)

    方法二：3.14×(152－102)＝3.14×125＝392.5(平方厘米)

    答：圆环的面积是392．5平方厘米。

    点拨：计算环形面积的关键在于正确利用环形面积计算公式。

    2．一个高压锅垫圈的内直径是24厘米，垫圈宽1．5厘米，这个垫圈的面积是多少平方厘米?

    分析：垫圈的面积就是一个环形面积，圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，而要求这两个圆的面积，其大圆半径和小圆半径是关键。内直径也就是小圆的直径，这样就能求出小圆的半径，大圆的半径是小圆半径与垫圈宽的和。

    答案：小圆的半径：24÷2＝12(厘米)

    小圆的面积；3.14×122＝452.16(平方厘米)

    大圆的半径：12＋1.5＝13.5(厘米)

    大圆的圆积：3.14×13.52＝572.265(平方厘米)

    垫圈的面积：572.265－452.16＝120.105(平方厘米)

    答：这个垫圈的面积是120.105平方厘米。

    点拨：求图形的面积，要先确定图形的形状，根据相应的公式计算面积。

  3. 求阴影部分的面积。

  分析：仔细看图，其实是求圆环面积的一半，只要求出内圆的半径5－1＝4(米)，就可以根据S＝π(R2－r2)求出阴影部分面积的一半。

    解答：5－1＝4(米)

       3.14×(52－42)

    ＝3.14×9

    ＝28.26(平方米)

       28.26÷2＝14.13(平方米)

             答：阴影部分的面积是14.13平方米。

    技巧与方法：对于较复杂的组合图形求面积，要正确分析图形的组合特点。比如上图中阴影部分的面积正好是圆环面积的一半。

 三、资料链接

                                     奥运五环常识

    奥林匹克标志最早是根据1913年顾拜旦的提议设计的，起初国际奥委会采用蓝、黄、黑、绿、红色作为五环的颜色，是因为它能代表当时国际奥委会成员国国旗的颜色。1914年在巴黎召开的庆祝奥运会复兴20周年的奥林匹克大会上，顾拜旦先生解释了他对标志的设计思想：“五环——蓝、黄、绿、红和黑环，象征世界上承认奥林匹克运动，并准备参加奥林匹克竞赛的五大洲，第六种颜色白色——旗帜的底色，意指所有国家都毫无例外地

能在自己的旗帜下参加比赛。”因此，作为奥运会象征、相互环扣一起的5个圆环，便体现了顾拜旦提出的可以吸收殖民地民族参加奥运会，为各民族间的和平事业服务的思想。

    体会奥赛

    在一个长8米、宽5米的长方形花池中，建了一个最大的圆形花池，圆池内种牡丹花，圆池外种茉莉花，各占地多少平方米?

    思路分析：在长方形中，最大的一个圆的直径等于长方形的宽。根据题意，可先求出圆形花池的半径，再求花池的面积。用长，方形的面积减去圆形花池的面积，就是茉莉花占地面积。

    解答： 牡丹花占地面积：3.14×(5÷2)2＝19.625(平方米)

           茉莉花占地面积：8×5－19.625＝20.375(平方米)

    归纳总结：在长方形中最大的圆的直径等于长方形的宽。